Question

如圖，已知橢圓的左、右焦點分別為，下頂點為，點是橢圓上任一點，圓是以為直徑的圓．
⑴當圓的面積為，求所在的直線方程；
⑵當圓與直線相切時，求圓的方程；

Answer 1

⑴或；⑵； .

(1) 設,先求出,進而根椐圓的面積為,建立方程，解出,進而確定或.PA的直線方程易求.
(2) 直線的方程為，且到直線的距離為
，得到,再根據點P在橢圓上滿足，兩方程聯立可得M的坐標，到此問題基本得到解決.
解：⑴易得，，，設，
則，
∴， ………………2
又圓的面積為，∴，解得，   ∴或，
∴所在的直線方程為或；……………5
⑵∵直線的方程為，且到直線的距離為
，  化簡得，………………………6
聯立方程組，解得或．    ………………………10
當時，可得，  ∴ 圓的方程為；………11
當時，可得， ∴ 圓的方程為；…12