Question

（本小題滿分12分）

如圖，ABCD是邊長為的正方形，ABEF是矩形，且二面角CABF是直二面角，，G是EF的中點，   （Ⅰ）求證平面⊥平面；

   （Ⅱ）求GB與平面AGC所成角的正弦值.

   （Ⅲ）求二面角B—AC—G的大小.

Answer 1

（Ⅱ）   （Ⅲ）

解析:

解法一：（幾何法）

（Ⅰ）證明：正方形ABCD  

∵二面角CABF是直二面角，CB⊥AB，∴CB⊥面ABEF  

∵AG，GB面ABEF，∴CB⊥AG，CB⊥BG            

又AD=2a，AF= a，ABEF是矩形，G是EF的中點，

∴AG=BG=，AB=2a， AB²=AG²+BG²，  ∴AG⊥BG   

∵CG∩BG=B  ∴AG⊥平面CBG 

而AG面AGC，  故平面AGC⊥平面BGC             

（Ⅱ）解：如圖，由（Ⅰ）知面AGC⊥面BGC，且交于GC，

在平面BGC內作BH⊥GC，垂足為H，則BH⊥平面AGC，   

∴∠BGH是GB與平面AGC所成的角                     

∴在Rt△CBG中

又BG=，∴  　

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，BH⊥面AGC 作BO⊥AC，垂足為O，連結HO，則HO⊥AC，

∴為二面角B—AC—G的平面角  在

在Rt△BOH中，

即二面角B—AC—G的大小為      

解法二：（向量法）

    解析：如圖，以A為原點建立直角坐標系，

則A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a ），G（a，a，0），F（a，0，0）．

（I）證明：，，，

∴，

 

∴AG⊥BG，AG⊥BC，而BG與BC是平面BCG內兩相交直線，

∴AG⊥平面BCG，又AG平面ACG，故平面ACG⊥平面BCG  

（II）由題意可得，，

，，

設平面AGC的法向量為，

由    

 

（III）因是平面AGC的法向量，又AF⊥平面ABCD，平面ABCD的法向量，得，∴　二面角B—AC—G的大小為．