Question

已知點P（-3，0），點Q在x軸上，點A在y軸上，且

PA

•

AQ

=0，

QM

=2

AQ

．當點A在y軸上移動時，求動點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：設Q（a，0），A（0，b），M（x，y）是曲線上任意一點，由

PA

•

AQ

=0建立關系式得到3a²-b²=0．由等式

QM

=2

AQ

解出a、b關于x、y的表達式，代入前一個式子化簡即得動點M的軌跡方程．

解答：解：設Q（a，0），A（0，b），M（x，y）是曲線上任意一點，則

PA

=(3，b)，

AQ

=(a，-b)，

QM

=(x-a，y)，（4分）
∴

PA

•

AQ

=3a-b2=0…①，（6分）
∵

QM

=2

AQ

，可得

x-a=2a y=-2b

∴

a= x 3 b=- y 2

…②（8分）
將②代入①，化簡得y²=4x．    （10分）
所以動點M的軌跡方程為y²=4x．（12分）

點評：本題給出動點滿足的條件，求動點軌跡方程．著重考查了向量的線性運算、向量的數量積和動點軌跡方程的求法等知識，屬于中檔題．