Question

已知點P（3，0），點A、B分別在x軸負半軸和y軸上，且

BP

•

BA

=0，點C滿足

AC

=2

BA

，當點B在y軸上移動時，記點C的軌跡為E．
（1）求曲線E的方程；
（2）過點Q（1，0）且斜率為k的直線l交曲線E于不同的兩點M、N，若D（-1，0），且

DM

•

DN

＞0，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先設出點A、B、C的坐標，然后根據且

BP

•

BA

=0，點C滿足

AC

=2

BA

建立方程組，解之即可求出曲線E的方程；
（2）設直線l方程為y=k（x-1），然后根據曲線聯立方程組，根據直線l交曲線E于不同的兩點M、N則△＞0求出k的范圍，然后設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）則

DM

=（x₁+1，y₁）

DN

=（x₂+1，y₂），根據

DM

•

DN

＞0建立不等式，解之即可．

解答：解：（1）設A（a，0）（a＜0），B（0，b），C（x，y）（1分）
則

AC

=（x-a，y），

BA

=（a，-b），

BP

=（3，-b）
∵

BP

•

BA

=0，

AC

=2

BA

∴

3a+b2=0 x-a=2a y=-2b

（4分）
消去a，b得y²=-4x∵a＜0∴x=3a＜0
故曲線E的方程為y²=-4x（x＜0）（6分）
（2）設直線l方程為y=k（x-1）（7分）
由

y=k(x-1) y2=-4x

得k²x²-2（k²-2）x+k²=0（8分）
∵直線l交曲線E于不同的兩點M、N∴△＞0
即△=4（k²-2）²-4k²k²＞0∴k²＜1①（9分）
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）則

DM

=（x₁+1，y₁）

DN

=（x₂+1，y₂）
∴

x1+x2= 2(k2-2) k2 x1x2=1

∴

DM

•

DN

=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=

8k2-4

k2

＞0
解得k²＞

1

2

②（11分）
由①②聯立解得：

1

2

＜k²＜1
∴-1＜k＜-

2

2

或

2

2

＜k＜1（12分）

點評：本題主要考查了向量在幾何中的應用，以及直線與圓錐曲線的綜合問題，同時考查了計算能力，函數與方程的思想，屬于一道綜合題．