(本題滿分18分) 本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.
設二次函數
，對任意實數
，
恒成立；數列
滿足
.
（1）求函數
的解析式和值域；
（2）試寫出一個區間
，使得當
時，數列在這個區間上是遞增數列，
并說明理由；
（3）已知
，求：
.
(本題滿分18分) 本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.
解：（1）由
恒成立等價于
恒成立，…………………………1分
從而得：
，化簡得
，從而得
，所以
，………3分
其值域為
.………………………………………………………………………………………………4分
（2）解：當
時，數列
在這個區間上是遞增數列，證明如下：
設
，則
，所以對一切
，均有
；………………………………………………………………………………………………7分
，
從而得
，即
，所以數列在區間
上是遞增數列.………………………10分
注：本題的區間也可以是
、
、
等無窮多個.
另解：若數列在某個區間上是遞增數列，則
即
…………………………7分
又當時，，所以對一切，均有且，所以數列在區間上是遞增數列.…………………………10分
（3）（文科）由（2）知，從而
；
，即
； ………12分
令
，則有
且
；
從而有
，可得
，所以數列
是以
為首項，公比為
的等比數列，……………………………………14分
從而得
，即
，所以 
，
所以
，所以
， ………………16分
所以，
. ……………………………………………………18分
（3）（理科）由（2）知，從而；
，即；………12分
令，則有且；
從而有，可得，所以數列是
為首項，公比為的等比數列，………………………………………………………14分
從而得，即，所以 ，
所以，所以，
所以，
.………………………………………………………16分
即
，所以，
恒成立
當
為奇數時，即
恒成立，當且僅當
時，
有最小值
為。
當為偶數時，即
恒成立，當且僅當
時，有最大值
為。
所以，對任意
，有
。又
非零整數，
…………………………………18分
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
（本題滿分18分，第（1）小題6分，第（2）小題6分，第（3）小題6分）
若數列
滿足：
是常數），則稱數列為二階線性遞推數列，且定義方程
為數列的特征方程，方程的根稱為特征根； 數列的通項公式
均可用特征根求得：
①若方程有兩相異實根
，則數列通項可以寫成
，（其中
是待定常數）；
②若方程有兩相同實根
，則數列通項可以寫成
，（其中是待定常數）；
再利用
可求得
，進而求得．
根據上述結論求下列問題：
（1）當
，
（
）時，求數列的通項公式；
（2）當
，
（）時，求數列的通項公式；
（3）當
，
（）時，記
，若
能被數
整除，求所有滿足條件的正整數
的取值集合．
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科目：高中數學 來源：2011屆上海市盧灣區高三上學期期末數學理卷 題型：解答題
（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分8分，第3小題滿分6分．
已知負數
和正數
，且對任意的正整數n，當
≥0時, 有[
, 
]=
[
, ]；當<0時, 有[, ]= [, 
]．
（1）求證數列{
}是等比數列；
（2）若
，求證
；
（3）是否存在
，使得數列
為常數數列？請說明理由
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年山東省濟寧市高三第二次月考文科數學 題型：解答題
（本題滿分18分）已知拋物線C的頂點在原點,焦點在y軸正半軸上,點
到其準線的距離等于5．
（Ⅰ）求拋物線C的方程;
（Ⅱ）如圖,過拋物線C的焦點的直線從左到右依次與拋物線C及圓
交于A、C、D、B四點,試證明
為定值;
（Ⅲ）過A、B分別作拋物C的切線
且交于點M,求
與
面積之和的最小值．
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年上海市青浦區高三上學期期終學習質量調研測試數學試卷 題型：解答題
(本題滿分18分) 本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.
設
，對于項數為
的有窮數列
，令
為
中最大值，稱數列
為的“創新數列”．例如數列
3，5，4，7的創新數列為3，5，5，7．
考查自然數
的所有排列，將每種排列都視為一個有窮數列
．
（1）若
，寫出創新數列為3，4，4，4的所有數列；
（2）是否存在數列的創新數列為等比數列？若存在，求出符合條件的創新數列；若不存在，請說明理由．
（3）是否存在數列，使它的創新數列為等差數列？若存在，求出滿足所有條件的數列的個數；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源：上海市普陀區2010屆高三第二次模擬考試數學文 題型：解答題
（本題滿分18分，其中第1小題6分，第2小題6分，第3小題6分）
已知數列
的首項為1，前
項和為
，且滿足
，
．數列
滿足
.
（1） 求數列的通項公式；
（2） 當
時，試比較
與
的大小，并說明理由；
（3） 試判斷：當時，向量
是否可能恰為直線
的方向向量？請說明你的理由.
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