Question

（本題滿分18分，第（1）小題6分，第（2）小題6分，第（3）小題6分）

若數列滿足：是常數），則稱數列為二階線性遞推數列，且定義方程為數列的特征方程，方程的根稱為特征根； 數列的通項公式均可用特征根求得：

①若方程有兩相異實根，則數列通項可以寫成，（其中是待定常數）；

②若方程有兩相同實根，則數列通項可以寫成，（其中是待定常數）；

再利用可求得，進而求得．

根據上述結論求下列問題：

（1）當，（）時，求數列的通項公式；

（2）當，（）時，求數列的通項公式；

（3）當，（）時，記，若能被數整除，求所有滿足條件的正整數的取值集合．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

（1）由可知特征方程為：

， …………………3分

所以 設  ，由得到，

所以   ； …………………6分

（2）由可以得到

設，則上述等式可以化為：…………………8分

，所以對應的特征方程為：

，…………………10分

所以令   ，由可以得出

所以…………………11分

即  …………………12分

（3）同樣可以得到通項公式………14分

所以

 

即     …………………14分

即   ，…………………16分

因此除以的余數，完全由除以的余數確定，

因為  所以  ，

，，

，，

，，

，，

由以上計算及可知，數列各項除以的余數依次是：

它是一個以為周期的數列，從而除以的余數等價于除以的余數，所以，，

即所求集合為：…………………18分