Question

【題目】（本小題滿分12分） 已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓C的離心率為，且經過點．

（1）求橢圓C的方程；

（2）是否存在過點的直線與橢圓C相交于不同的兩點，滿足?若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）設橢圓的方程，若焦點明確，設橢圓的標準方程，結合條件用待定系數法求出的值，若不明確，需分焦點在軸和軸上兩種情況討論；（2）解決直線和橢圓的綜合問題時注意：第一步：根據題意設直線方程，有的題設條件已知點，而斜率未知；有的題設條件已知斜率，點不定，可由點斜式設直線方程．第二步：聯立方程：把所設直線方程與橢圓的方程聯立，消去一個元，得到一個一元二次方程．第三步：求解判別式：計算一元二次方程根．第四步：寫出根與系數的關系．第五步：根據題設條件求解問題中結論．

試題解析：（1）設橢圓C的方程為， 2分

由題意得 4分

解得a2＝4，b2＝3．故橢圓C的方程為． 6分

（2）假設存在直線l1且由題意得斜率存在，設滿足條件的方程為y＝k1（x－2）＋1，

代入橢圓C的方程得，（3＋4）x2－8k1（2k1－1）x＋16－16k1－8＝0． 7分

因為直線l1與橢圓C相交于不同的兩點A，B，

設A，B兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），

所以Δ＝[－8k1（2k1－1）]2－4（3＋4）·（16－16k1－8）＝32（6k1＋3）>0，所以k1>． 8分

又x1＋x2＝，x1x2＝， 9分

因為，

即（x1－2）（x2－2）＋（y1－1）（y2－1）＝，所以（x1－2）（x2－2）（1＋）＝2＝．

即[x1x2－2（x1＋x2）＋4]（1＋）＝．

所以， 10分

解得k1＝±．因為k1>－，所以k1＝．于是存在直線l1滿足條件，其方程為y＝x． 12分