Question

【題目】設等差數列的前項和為，且，．數列的前項和為，滿足．

（1）求數列的通項公式；

（2）寫出一個正整數，使得是數列的項；

（3）設數列的通項公式為，問：是否存在正整數和，使得，，成等差數列？若存在，請求出所有符合條件的有序整數對；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）可取

（3）存在符合條件的正整數和，所有符合條件的有序整數對為：，，，理由見解析.

【解析】

（1）由已知條件可得數列的首項和公差，進而可得其通項；
（2）由已知可求得的通項，只要即可，寫出一個滿足條件的即可；
（3）可得，由，，成等差數列，可得關于正整數和的式子，取整數驗證即可．

（1）設數列的首項為，公差為，由已知，有，

解得，，

所以的通項公式為．

（2）當時，，所以．

由，得，兩式相減，得，

故，

所以，是首項為，公比為的等比數列，所以．

，

要使是中的項，只要即可，可取．

（只要寫出一個的值就給分，寫出，，也給分）

（3）由（1）知，，

要使，，成等差數列，必須，即

，

化簡得．

因為與都是正整數，所以只能取2，3，5．

當時，；當時，；當時，．

綜上可知，存在符合條件的正整數和，所有符合條件的有序整數對為：，，．