Question

【題目】已知x、y滿足約束條件 ，若目標函數z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為7，則 的最小值為 ．

Answer 1

【答案】7
【解析】解：作出不等式組 表示的平面區域，
得到如圖的△ABC及其內部，其中A（1，0），B（3，4），C（0，1）
設z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），
將直線l：z=ax+by進行平移，并觀察直線l在x軸上的截距變化，
可得當l經過點B時，目標函數z達到最大值．
∴zmax=F（3，4）=7，即3a+4b=7．
因此， = （3a+4b）（ ）= [25+12（ ）]，
∵a＞0，b＞0，可得 ≥2 =2，
∴ ≥ （25+12×2）=7，當且僅當a=b=1時， 的最小值為7．
所以答案是：7

【考點精析】本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用的相關知識點，需要掌握用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”才能正確解答此題．