Question

【題目】已知函數(shù)f(x)對任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0時(shí)，f(x)＜0， f(1)＝－2.

(1)求證:f(x)是奇函數(shù)；

(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性

(3)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1） 見解析；（2）見解析；（3） 函數(shù)有最大值6，有最小值-6．

【解析】

（1）根據(jù)任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），利用賦值法構(gòu)造奇偶性判斷的定義即可證明；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證法得到結(jié)果即可；（3）根據(jù)已知條件，利用賦值法得到函數(shù)的端點(diǎn)值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到最值.

（1）因?yàn)?/span>，所以，所以，

而，因此，

所以 ，所以函數(shù)是奇函數(shù)；

（2）設(shè)，由，知，

因?yàn)?/span>，所以，又當(dāng)時(shí)，，

所以，所以，所以，

（3）函數(shù)是定義域上的減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最值，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，

，

，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值6，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有所有最小值-6.