Question

(本小題滿分12分)

如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，且CD=2AB．

（1）若AB=AD=,直線PB與CD所成角為，

①求四棱錐P－ABCD的體積；

②求二面角P－CD－B的大小；

（2）若E為線段PC上一點，試確定E點的位置，使得平面EBD垂直于平面ABCD，并說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）(1)V_P－ABCD=·PA·S_ABCD=a³．(2)二面角P－CD－B為45⁰．

(2) 當點E在線段PC上，且滿足PE ：EC=2 ：1時，平面EBD垂直于平面ABCD．見解析。

【解析】

試題分析：

(1)∵AB∥CD，∴∠PBA是PB與CD所成角，

從而可以得到V_P－ABCD=·PA·S_ABCD=a³，又因為 ∵AB⊥AD，CD∥AB∴CD⊥AD

又PA⊥底面ABCD∴∠PDA是二面角P－CD－B的平面角，進而解得。

 (2) 當點E在線段PC上，且滿足PE ：EC=2 ：1時，平面EBD垂直于平面ABCD．

結合猜想，運用面面垂直判定定理得到。

（1）∵AB∥CD，∴∠PBA是PB與CD所成角，

即∠PBA=45⁰ ， ∴在直角△PAB中，PA=AB=a 

(1)V_P－ABCD=·PA·S_ABCD=a³．

(2)∵AB⊥AD，CD∥AB

 ∴CD⊥AD

又PA⊥底面ABCD

∴PA⊥CD

∴CD⊥平面PAD

∴CD⊥PD

∴∠PDA是二面角P－CD－B的平面角

在直角△PDA中,∵PA=AD=a

∴∠PDA=45⁰

即二面角P－CD－B為45⁰．

(2) 當點E在線段PC上，且滿足PE ：EC=2 ：1時，平面EBD垂直于平面ABCD．

理由如下：連AC、BD交于O點，連EO.

由△AOB∽△COD，且CD=2AB

∴CO=2AO

∴PE:EC=AO:CO =1:2

∴PA∥EO 

∵PA⊥底面ABCD，

∴EO⊥底面ABCD.

又EO在平面EBD內，

∴平面EBD垂直于平面ABCD  

考點：本題主要考查了空間中體積和二面角的求解，以及面面垂直的證明的綜合運用。

點評：解決該試題的關鍵熟練掌握幾何體的結構特征，進而得到空間中點、線、面的位置關系，結合有關定理進行證明即可，并且也有利于建立空間之間坐標系，利用向量的有關知識解決空間角與空間距離等問題．