Question

【題目】已知函數f（x）= ．
（1）證明f（x）為偶函數；
（2）若不等式k≤xf（x）+ 在x∈[1，3]上恒成立，求實數k的取值范圍；
（3）當x∈[ ， ]（m＞0，n＞0）時，函數g（x）=tf（x）+1，（t≥0）的值域為[2﹣3m，2﹣3n]，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：函數的定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞）關于原點對稱，

∵f（﹣x）= =f（x），

∴f（x）為偶函數

（2）k≤xf（x）+ =x在x∈[1，3]上恒成立，

∴k≤1

（3）g（x）=tf（x）+1=t（1﹣ ）+1 （t≥0）在x∈[ ， ]上遞增，

∴g（ ）=2﹣3m，g（ ）=2﹣3n，

∴t（1﹣m2）+1=2﹣3m，t（1﹣n2）+1=2﹣3n，

∴m，n是t（1﹣x2）+1=2﹣3x的兩個不相等的正跟，

∴tx2﹣3x+1﹣t=0（t＞0），

∴△=9﹣4t（1﹣t）＞0，

＞0，

＞0，

∴0＜t＜1

【解析】（1）利用定義判斷函數的奇偶性，先求定義域，再判斷f（﹣x）= =f（x）；（2）直接求右表達式的最小值即可；（3）得出g（x）=tf（x）+1=t（1﹣ ）+1 （t≥0）在x∈[ ， ]上遞增，可得出g（ ）=2﹣3m，g（ ）=2﹣3n，
構造一方程m，n是t（1﹣x2）=2﹣3x的兩個不相等的正跟，利用二次函數和韋達定理得出t的范圍．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數奇偶性的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．