Question

（2009•武昌區模擬）如圖，在半徑為

6

cm，圓心角為60°的扇形OAB中，點C為弧AB的中點，按如圖截出一個內接矩形，則矩形的面積為

3

cm²．

Answer 1

分析：過B作BM⊥AO，交FC于點N，交AO于點M，由在半徑為

6

cm，圓心角為60°的扇形OAB中，點C為弧AB的中點，知∠DOC=∠BOC=30°，FC=OF．由CD⊥AO，知DC=

1

2

OC=

6

2

．在△BMO中，∠BOM=60°，∠BMO=90°，OB=

6

，所以∠OBM=30°，OM=

6

2

，BM=

3 2

2

，BN=

3 2 - 6

2

．設FN=x，則BF=2x，則4x2-x2=(

3 2 - 6

2

)2，BF=2x=

6

-

2

，由此能求出矩形的面積．

解答：解：過B作BM⊥AO，交FC于點N，交AO于點M，
∵在半徑為

6

cm，圓心角為60°的扇形OAB中，點C為弧AB的中點，
∴∠DOC=∠BOC=30°，
∵CD⊥AO，
∴DC=

1

2

OC=

6

2

，
∵FC∥OA，
∴∠FCO=∠AOC=30°，
∴∠FOC=∠FCO=30°，
∴FC=OF．
在△BMO中，
∵∠BOM=60°，∠BMO=90°，OB=

6

，
∴∠OBM=30°，

∴OM=

6

2

，
∴BM=

6- 6 4

=

3 2

2

．
∴BN=

3 2 - 6

2

．
設FN=x，則BF=2x，
∴4x2-x2=(

3 2 - 6

2

)2，
解得x=

2- 3

=

6 - 2

2

，
∴BF=2x=

6

-

2

，
∴FC=OF=

6

-(

6

-

2

)=

2

，
∴矩形的面積S=

2

×

6

2

=

3

．
故答案為：

3

．

點評：本題考查三角函數模型的應用問題，是中檔題．解題時要認真審題，注意垂徑定理、勾股定理、有一個角是30°角的直角三角形的性質的靈活運用，合理地進行等價轉化．