Question

已知函數(shù)（ 是自然對數(shù)的底數(shù)）的最小值為．
（Ⅰ）求實數(shù)的值；
（Ⅱ）已知且，試解關(guān)于的不等式 ；
（Ⅲ）已知且.若存在實數(shù)，使得對任意的，都有，試求的最大值．

Answer 1

（1）
（2）當(dāng)時，不等式的解為；當(dāng)時，不等式的解為
（3）3

解析試題分析：解：（Ⅰ）因為，所以，故，
因為函數(shù)的最小值為，所以．              3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，.
當(dāng)時，， 5分
故不等式可化為：，
即，           6分
得，
所以，當(dāng)時，不等式的解為；
當(dāng)時，不等式的解為．          8分
（Ⅲ）∵當(dāng)且時，，
∴.
∴原命題等價轉(zhuǎn)化為:存在實數(shù)，使得不等式對任意恒成立.        10分
令.
∵，∴函數(shù)在為減函數(shù).       11分
又∵，∴.          12分
∴要使得對，值恒存在，只須．     13分
∵，
且函數(shù)在為減函數(shù)，
∴滿足條件的最大整數(shù)的值為3．   14分
考點：函數(shù)與不等式
點評：主要是考查了函數(shù)與不等式的綜合運用，以及導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的求解屬于中檔題。