Question

【題目】如圖，ABCD為矩形，點A、E、B、F共面，且和均為等腰直角三角形，且90°．

（Ⅰ）若平面ABCD平面AEBF，證明平面BCF平面ADF；

（Ⅱ）問在線段EC上是否存在一點G，使得BG∥平面CDF，若存在，求出此時三棱錐G-ABE與三棱錐G-ADF的體積之比．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）根據為矩形，結合面面垂直性質定理可得平面，即，結合，即可得平面，最后根據面面垂直判定定理可得結果；（Ⅱ）首先易得平面，再證平面，進而面面平行，延長到點，使得，可得是平行四邊形，過點作的平行線，交于點，此即為所求，通過可得結果.

（Ⅰ）∵ABCD為矩形，∴BC⊥AB，

又∵平面ABCD⊥平面AEBF，BC平面ABCD，平面ABCD∩平面AEBF=AB，

∴BC⊥平面AEBF，

又∵AF平面AEBF，∴BC⊥AF.

∵∠AFB=90°，即AF⊥BF，且BC、BF平面BCF，BC∩BF=B，

∴AF⊥平面BCF

又∵AF平面ADF，∴平面ADF平面BCF.

（2）∵BC∥AD，AD平面ADF，∴BC∥平面ADF.

∵和均為等腰直角三角形，且90°，

∴∠FAB=∠ABE=45°，∴AF∥BE，又AF平面ADF，∴BE∥平面ADF，

∵BC∩BE=B，∴平面BCE∥平面ADF.

延長EB到點H，使得BH =AF，又BC AD，連CH、HF，易證ABHF是平行四邊形，

∴HFABCD，∴HFDC是平行四邊形，∴CH∥DF.

過點B作CH的平行線，交EC于點G，即BG∥CH∥DF，（DF平面CDF）

∴BG∥平面CDF，即此點G為所求的G點.

又BE=，∴EG=，又，

，

故..