Question

（ 14分 ）已知圓C：x²+y²-2x+4y-4=0,是否存在斜率為1的直線,使以被圓C所截得的弦AB為直徑的圓經過原點？若存在,寫出直線的方程；若不存在,請說明理由.

Answer 1

x-y-4=0或x-y+1="0. "

假設直線存在，設l的方程為y=x+m，由 --------2分
得2x²+2(m+1)x+m²+4m-4=0.(*)
設A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),則x₁+x₂=-(m+1),x₁x₂=.
∵以AB為直徑的圓經過原點，則x₁x₂+y₁y₂=0.        ----------------6分
又y₁·y₂=(x₁+m)(x₂+m)=x₁x₂+m(x₁+x₂)+m²,
∴2x₁x₂+m(x₁+x₂)+m²=0.
∴m²+3m-4=0,m=-4或m=1.           ---------------12分
∵當m=-4或m=1時，可驗證(*)式的Δ＞0，
∴所求直線l的方程是x-y-4=0或x-y+1="0. "  ---------------14分