Question

給出下列命題：
①若y=f（x）是定義在R上的函數，則f'（x₀）=0是函數y=f（x）在x=x₀處取得極值的必要不充分條件．
②用數字1，2，3，4，5組成沒有重復數字的五位數，則其中數字2，3相鄰的偶數有18個．
③已知函數y=2sin（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）為偶函數，其圖象與直線y=2的交點的橫坐標為x₁，x₂，若|x₁-x₂|的最小值為π，則ω的值為2，θ的值為

π

2

．
④若P為雙曲線x²-

y2

9

=1上一點，F₁、F₂分別為雙曲線的左右焦點，且|PF₂|=4，則|PF₁|=2或6．
其中正確命題的序號是

②③

（把所有正確命題的序號都填上）．

Answer 1

分析：對于①，分別舉反例說明充分性和必要性都不成立：函數y=|x|，在x=0處取極小值但f′（0）≠0，說明充分性不成立；函數f（x）=x³在x=0處，f′（x）=0，而f（0）并非函數的極值，必要性質不成立．由此進行判斷．
對于②，分析題意，2和3相鄰的偶數有兩類，一類是2在末位，兩數相鄰不交換，一類是4在末位，兩數相鄰可交換，分類計數，再求兩者的和得到答案；
對于③，由函數是偶函數及θ的范圍求出θ的值，再由|x₂-x₁|的最小值為π得到w的值．從而得到函數的解析式．
對于④，由雙曲線的定義知||PF₁|-|PF₂||=2a，結合其幾何特征，計算可得答案．

解答：解：對于①，先說明充分性不成立，
例如函數y=|x|，在x=0處取得極小值f（0）=0，但f′（x）在x=0處無定義，
說明f′（0）=0不成立，因此充分性不成立；
再說明必要性不成立，設函數f（x）=x³，則f′（x）=3x²
在x=0處，f′（x）=0，但x=0不是函數f（x）的極值點，故必要性質不成立．故①錯；
對于②，由題意，
若2在末位，則需要從余下的三個數中選出三個數排在百位、千位與萬位，故不同的排法有A₃³=6種
若2不在末位，則必有4在末位，由此，2，3二數先捆在一起，再與兩奇數一起參加排列，總的排法有A₂²×A₃³=12，
綜上由數字1，2，3，4，5所組成的沒有重復數字的五位數中，2和3相鄰的偶數共有6+12=18個．故②正確；
對于③：∵y=2sin（wx+θ）為偶函數∴θ=

π

2

+kπ k∈z 又∵0＜θ＜π∴θ=

π

2

由誘導公式得函數y=2coswx  又∵其圖象與直線y=2某兩個交點的橫坐標分別為x₁，x₂，若|x₂-x₁|的最小值為π
∴函數的周期為π 即 w=2．故③正確；
對于④：∵雙曲線的a=1，b=3，c=

10

，
由雙曲線的定義知||PF₁|-|PF₂||=2a=2，
∴|PF₁|-4=±2，
∴|PF₁|=6或2，但是|PF₁|≥c-a=

10

-1，故|PF₁|=2舍去．故④錯．
故答案為：②③．

點評：本題考查雙曲線的簡單性質、命題的真假判斷與應用、函數在某點取得極值的條件、排列、組合及簡單計數問題、正弦函數的奇偶性竺，解題時要認真審題，仔細解答．