Question

如圖，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠BAC＝90°，AB=AC=2，AA₁=6，點E、F分別在棱BB₁、CC₁上，且BE＝BB_1­，C₁F＝CC₁.

（1）求異面直線AE與A₁ F所成角的大小；
（2）求平面AEF與平面ABC所成角的余弦值.

Answer 1

（1）60º.（2）

試題分析：解：（1）建立如圖所示的直角坐標系，則

,,,，從而
,.                2分
記與的夾角為，則有
.
又由異面直線與所成角的范圍為，可得異面直線與所成的角為60º.       4分
（2）記平面和平面的法向量分別為n和m，則由題設可令，且有平面的法向量為, ,.
由，得；由，得.
所以，即.                                  8分
記平面與平面所成的角為，有.
由題意可知為銳角，所以.                              10分
點評：對于角的求解，一般先左后證，三解答，異面直線的所成的角一般平移法得到，對于二面角的求解，通常運用向量法，合理的建系是關鍵，屬于基礎題。