Question

【題目】已知橢圓 的右焦點與短軸兩個端點的連線互相垂直.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設點為橢圓的上一點，過原點且垂直于的直線與直線交于點，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由右焦點與短軸兩個端點的連線互相垂直,根據等腰直角三角形及橢圓的幾何性質可得,從而可得，進而可得橢圓的標準方程；（2））設， ，則，先求出當時的面積，當時，直線的方程為．即，直線的方程為根據點到直線距離公式以及兩點間的距離公式可得，利用基本不等式可得面積的最小值．

試題解析：（1）由題意，得 解得．

所以橢圓的方程為．

（2）設， ，則．

①當時，點， 點坐標為或，

．

②當時，直線的方程為．即，

直線的方程為．

點到直線的距離為

， ．

所以， ．

又，

所以

且，

當且僅當，即時等號成立，

綜上，當時， 取得最小值1.