Question

已知函數f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+bx+c的兩個極值點分別為x₁和x₂，有f（x₁）=x₂，f（x₂）=x₁，其中x₁≠x₂，則函數g（x）=f²（x）+af（x）+b的零點個數為

 

．

Answer 1

考點：函數零點的判定定理

專題：函數的性質及應用

分析：求導數f′（x），由題意知x₁，x₂是方程x²+ax+b=0的兩根，從而關于f（x）的方程（f（x））²+af（x）+b=0有兩個根，作出草圖，由圖象可得答案．

解答： 解：∵f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+bx+c有極值點x₁，x₂，
∴f′（x）=x²+ax+b，
且x₁，x₂是方程x²+ax+b=0的兩根，
不妨設x₂＞x₁，
由（f（x））²+af（x）+b=0，
則有兩個f（x）使等式成立，
x₂=f（x₁），x₂＞x₁=f（x₂），
如圖所示：

有4個交點，
故答案為：4．

點評：本題主要考查函數零點的概念、函數的極值和函數的導數之間的關系，利用是數形結合是解決本題的關鍵．