Question

已知函數f（x）=

1

2

cos2x+

3

2

sinxcosx+1(x∈R)，
求：（1）函數f（x）的最小正周期、最值及取得最值時相應的x值；
    （2）該函數的圖象可由函數y=sinx的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換而得？

Answer 1

分析：利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，
（1）直接利用周期公式求出函數f （x）的最小正周期；利用正弦函數的最值，求出函數f （x）的最值，以及取得最值時x的取值集合；
（2）將函數y=sinx的圖象上每一個點的橫坐標變為原來的

1

2

倍（縱坐標不變），再將圖象向左平移

π

12

個單位長度，再將圖象上每一個點的縱坐標變為原來的

1

2

倍（橫坐標不變）；最后在整體向上平移

5

4

個單位即可．先ω，再φ，后A的變換過程．

解答：解：∵f（x）=

1

2

cos2x+

3

2

sinxcosx+1(x∈R)，
=

cos2x+1

4

+

3 sin2x

4

+1
=

cos2x+ 3 sin2x

4

+

5

4

=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

．
（1）T=

2π

2

=π；
當 2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，（k∈Z）時，
即 x∈{x|x=kπ+

π

6

，（k∈Z）}時，
∴f（x）max=

7

4

．
當 2x+

π

6

=2kπ-

π

2

，（k∈Z）時，
即 x∈{x|x=kπ-

2π

3

，（k∈Z）}時，
∴f（x）_min=

3

4

．
（2）將函數y=sinx的圖象上每一個點的橫坐標變為原來的

1

2

倍（縱坐標不變），再將圖象向左平移

π

12

個單位長度，再將圖象上每一個點的縱坐標變為原來的

1

2

倍（橫坐標不變）；最后在整體向上平移

5

4

個單位即可得到函數f（x）=

1

2

cos2x+

3

2

sinxcosx+1(x∈R)的圖象．

點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡求值，最值、周期、函數圖象的變換，主要考查基本知識的靈活應用，基本知識的掌握的熟練程度，決定解題的好壞和快慢．