Question

如圖，已知正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面邊長是2，D是側棱CC₁的中點，直線AD與側面BB₁C₁C所成的角為45°．

(Ⅰ)求此正三棱柱的側棱長；

(Ⅱ)求二面角A－BD－C的大小；

(Ⅲ)求點C到平面ABD的距離．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)設正三棱柱－的側棱長為．取中點，連． 　　是正三角形，． 　　又底面側面，且交線為． 　　側面． 　　連，則直線與側面所成的角為．……………2分 　　在中，，解得．…………3分 　　此正三棱柱的側棱長為．……………………4分 　　注：也可用向量法求側棱長． 　　(Ⅱ)解法1：過作于，連， 　　側面． 　　為二面角的平面角．……………………………6分 　　在中，，又 　　，． 　　又 　　在中，．…………………………8分 　　故二面角的大小為．…………………………9分 　　解法2：(向量法，見后) 　　(Ⅲ)解法1：由(Ⅱ)可知，平面，平面平面，且交線為，過作于，則平面．…………10分 　　在中，．…………12分 　　為中點，點到平面的距離為．…………13分 　　解法2：(思路)取中點，連和，由，易得平面平面，且交線為．過點作于，則的長為點到平面的距離． 　　解法3：(思路)等體積變換：由可求． 　　解法4：(向量法，見后) 　　題(Ⅱ)、(Ⅲ)的向量解法： 　　(Ⅱ)解法2：如圖，建立空間直角坐標系． 　　則． 　　設為平面的法向量． 　　由得． 　　取…………6分 　　又平面的一個法向量…………7分 　　．…………8分 　　結合圖形可知，二面角的大小為．…………9分 　　(Ⅲ)解法4：由(Ⅱ)解法2，…………10分 　　點到平面的距離＝．13分