Question

已知空間三點A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5）
求：（1）求以向量

AB

，

AC

為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；
（2）若向量a分別與向量

AB

，

AC

垂直，且|a|=

3

，求向量a的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由已知中空間三點A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），我們分別求出向量

AB

，

AC

，

BC

的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)它們?nèi)齻�的模相等，判斷出三角形ABC為等邊三角形，進(jìn)而得到以向量

AB

，

AC

為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論，易向量

a

分別與向量

AB

，

AC

垂直，且|

a

|=

3

，設(shè)出向量

a

的坐標(biāo)，進(jìn)而構(gòu)造方程組，解方程組即可求出向量

a

的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵空間三點A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5）
∴

AB

=（-2，-1，3），

AC

=（1，-3，2），

BC

=（3，-2，-1）
∵|

AB

|=|

AC

|=|

BC

|=

14

∴△ABC為等邊三角形，故以向量

AB

，

AC

為一組鄰邊的平行四邊形的面積S=

3

2

(

14

)2=7

3

（2）設(shè)

a

=（x，y，z），由已知中向量

a

分別與向量

AB

，

AC

垂直，且|

a

|=

3

，
∴

-2x-y+3z=0 x-3y+2z=0 x2+y2+z2=3

解得x=y=z=±1

a

=（1，1，1）或

a

=（-1，-1，-1）

點評：本題考查的知識點是向量模的運算及向量垂直的坐標(biāo)表示，是平面向量的綜合題，熟練掌握平面向量模的計算公式，及向量平行和垂直的坐標(biāo)運算公式是解答本題的關(guān)鍵．