Question

已知

（1）求的極值，

并證明：若有；

（2）設，且，，

證明：，

若，由上述結論猜想一個一般性結論（不需要證明）；

（3）證明：若，則

 

Answer 1

【答案】

（1）0，利用作差法即可證明；（2）利用綜合法即可證明，猜想：若，且時有

；（3）利用第(2)問的結論及對數的運算證明即可

【解析】

試題分析：（1）則

當x∈（0，1）時，x∈（1，＋∞）時，

∴在（0，1）遞增，在（1，＋∞）遞減，

，∴當x=1時，F（x）有極大值為0，且         2分

∴當時恒成立，即時恒成立。

∴         4分

（2）證明：設，且，令，則，且

，，

由（1）可知      ①

                 ②

①+②，得

∴        8分

猜想：若，且時有

         9分

（3）證明：令

由猜想結論得

=

∴，

即有。                 14分

考點：本題考查了導數的運用

點評：導數本身是個解決問題的工具，是高考必考內容之一，高考往往結合函數甚至是實際問題考查導數的應用，求單調、最值、完成證明等，請注意歸納常規方法和常見注意點