Question

【題目】已知曲線C上的點到點F（0，1）的距離比它到直線y=-3的距離小2

（1）求曲線C的方程

（2）過點F且斜率為K的直線L交曲線C于A、B兩點，交圓F：于M、N兩點（A、M兩點相鄰）若 ，當 時，求K的取值范圍

Answer 1

【答案】(1) x2=4y,(2) k的取值范圍是[﹣，].

【解析】試題分析：（1）由動點P（x，y）到F（0，1）的距離比到直線y=﹣3的距離小2，可得動點P（x，y）到F（0，1）的距離等于它到直線y=﹣3的距離，利用拋物線的定義，即可求動點P的軌跡W的方程；

（2）由題意知，直線l方程為y=kx+1，代入拋物線得x2﹣4kx﹣4=0，利用條件，結合韋達定理，可得4k2+2= ，利用函數的單調性，即可求k的取值范圍；

解析：（1）由題意，動點P（x，y）到F（0，1）的距離比到直線y=﹣3的距離小2，

∴動點P（x，y）到F（0，1）的距離等于它到直線y=﹣1的距離，

∴動點P的軌跡是以F（0，1）為焦點的拋物線，標準方程為x2=4y；

（2）①依題意設直線l的方程為y=kx+1，代入x2=4y，得x2﹣4kx﹣4=0，△=（﹣4k）2+16＞0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=4k，x1x2=﹣4，

∵， ∴（﹣x2，y2）=λ（x1﹣x2，y1﹣y2）， ，

，

即4k2+2= ，

∵λ∈[]，∴ ，

∵函數f（x）=x+ 在[ ]單調單調遞減，

∴4k2+2∈[2，]，

∴k的取值范圍是[﹣， ]．