Question

已知拋物線x²=4y與圓x²+y²=32相交于A，B兩點，圓與y軸正半軸交于C點，直線l是圓的切線，交拋物線與M，N，并且切點在

ACB

上．
（1）求A，B，C三點的坐標；
（2）當M，N兩點到拋物線焦點距離和最大時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）根據題意，拋物線x²=4y與圓x²+y²=32相交于A，B兩點，可得

x2=4y x2+y2=32

，解可得A、B的坐標，進而由

x=0 x2+y2=32 y＞0

，知C的坐標．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則|MF|+|NF|=y₁+y₂+2，設切點為（x₀，y₀），則直線l的方程為x₀x+y₀y=32，由此可求出直線l的方程．

解答：解：（1）由

x2=4y x2+y2=32

，解得A（-4，4），B（4，4），由

x=0 x2+y2=32 y＞0

，解得C（0，4

2

）．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則|MF|+|NF|=y₁+y₂+2，
設切點為（x₀，y₀），則直線l的方程為x₀x+y₀y=32，
當x₀=0時，y1+y2=8

2

，
|MF|+|NF|=8

2

+2，x₀²=32-y₀²，
y1+y2=

64y0+4x02

y02

=

128

y02

+

64

y0

-4，
∵4≤y0≤4

2

，∴y₁+y₂有最大值20．
這時|MF|+|NF|=22＞8

2

+2，∴直線l的方程為x-y+8=0或x+y-8=0．

點評：本題考查圓錐曲線的直線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．