Question

【題目】已知橢圓的離心率為，點在橢圓上．

（I）求橢圓的方程；

（II）設動直線與橢圓有且僅有一個公共點，判斷是否存在以原點為圓心的圓，滿足此圓與相交于兩點（兩點均不在坐標軸上），且使得直線的斜率之積為定值？若存在，求此圓的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（I）；（II）．

【解析】

試題分析：（I）借助題設條件建立方程組求解；（II）借助題設運用直線與橢圓的位置關系推證和探求．

試題解析：

（I）由題意得：，，

又點在橢圓上，∴，解得，，，

∴橢圓的方程為．………………5分

（II）存在符合條件的圓，且此圓的方程為．

證明如下：假設存在符合條件的圓，并設此圓的方程為．

當直線的斜率存在時，設的方程為．

由方程組得．

∵直線與橢圓有且僅有一個公共點，

∴，即．

由方程組得，

則．

設，則，，

設直線的斜率分別為，

∴

，將代入上式，

得．

要使得為定值，則，即，代入驗證知符合題意．

∴當圓的方程為時，圓與的交點滿足為定值．

當直線的斜率不存在時，由題意知的方程為．

此時，圓與的交點也滿足．

綜上，當圓的方程為時，

圓與的交點滿足直線的斜率之積為定值．……………………12分