Question

證明以下命題：
（1）對任一正整a，都存在整數(shù)b，c（b＜c），使得a²，b²，c²成等差數(shù)列．
（2）存在無窮多個互不相似的三角形△_n，其邊長a_n，b_n，c_n為正整數(shù)且a_n²，b_n²，c_n²成等差數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）要證a²，b²，c²成等差數(shù)列，考慮到結(jié)構(gòu)即要證a²+c²=2b²，取特值1²，5²，7²滿足等差數(shù)列，只需取b=5a，c=7a，對一切正整數(shù)a均能成立．類似勾股數(shù)進(jìn)行拼湊．
（2）結(jié)合第一問的特征，將等差數(shù)列分解，通過一個可做多種結(jié)構(gòu)分解的因式說明構(gòu)成三角形，再證明互不相似，且無窮．

解答：解（1）考慮到結(jié)構(gòu)特征，取特值1²，5²，7²滿足等差數(shù)列，只需取b=5a，c=7a，對一切正整數(shù)a均能成立．
（2）證明：當(dāng)a_n²，b_n²，c_n²成等差數(shù)列，則b_n²-a_n²=c_n²-b_n²，
分解得：（b_n+a_n）（b_n-a_n）=（c_n+b_n）（c_n-b_n）
選取關(guān)于n的一個多項式，4n（n²-1）做兩種途徑的分解4n（n²-1）=（2n-2）（2n²+2n）=（2n²-2n）（2n+2）4n（n²-1）
對比目標(biāo)式，構(gòu)造

an=n2-2n-1 bn=n2+1 cn=n2+2n-1

(n≥4)，由第一問結(jié)論得，等差數(shù)列成立，
考察三角形邊長關(guān)系，可構(gòu)成三角形的三邊．
下證互不相似．
任取正整數(shù)m，n，若△_m，△_n相似：則三邊對應(yīng)成比例

m2-2m-1

n2-2n-1

=

m2+1

n2+1

=

m2+2m-1

n2+2n-1

，
由比例的性質(zhì)得：

m-1

n-1

=

m+1

n+1

?m=n，與約定不同的值矛盾，故互不相似．

點評：作為壓軸題，考查數(shù)學(xué)綜合分析問題的能力以及創(chuàng)新能力．考查學(xué)生對等比關(guān)系和等差關(guān)系確定的能力．