Question

證明以下命題：

（1）對任一正整數，都存在正整數，使得成等差數列；

（2）存在無窮多個互不相似的三角形，其邊長為正整數且成等差數列．

Answer 1

證明：

（1）易知成等差數列，則也成等差數列，所以對任一正整數，都存在正整數，使得成等差數列．

（2）若成等差數列，則有，

即                  ……①

選取關于的一個多項式，例如，使得它可按兩種方式分解因式，由于

因此令，可得

易驗證滿足①，因此成等差數列，

當時，有且

因此以為邊長可以構成三角形，將此三角形記為．

其次，任取正整數，假若三角形與相似，則有：

據此例性質有：

所以，由此可得，與假設矛盾，即任兩個三角形與互不相似，所以存在無窮多個互不相似的三角形，其邊長為正整數且以成等差數列．