Question

如圖：已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點F為A₁D的中點．
（1）求證：A₁B⊥平面AB₁D；
（2）求證：平面A₁B₁CD⊥平面AFC．

Answer 1

分析：（1）證明A₁B⊥平面AB₁D，利用線面垂直的判定定理，證明A₁B⊥AD，A₁B⊥B₁ A即可；
（2）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，連接B₁D．證明平面A₁B₁CD⊥平面AFC，利用面面垂直的判定定理，證明B₁D⊥平面AFC即可．

解答：證明：（1）∵AD⊥平面A₁B₁BA，A₁B?平面A₁B₁BA，∴A₁B⊥AD．                 （2分）
又A₁B⊥B₁ A，B₁A∩AD=A，∴A₁B⊥平面AB₁D．             （5分）
（2）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，連接B₁D．
∵AC⊥BD，AC⊥BB₁，∴AC⊥平面B₁BD，AC⊥B₁D．               （8分）
又∵CD⊥平面A₁ADD₁，AF?平面A₁ADD₁，∴CD⊥AF．
∵點F為A₁D的中點，∴AF⊥A₁D，∴AF⊥平面A₁B₁CD．    （11分）
∵AC⊥B₁D，∴B₁D⊥平面AFC．
∵B₁D?平面A₁B₁CD，∴平面A₁B₁CD⊥平面AFC．

點評：本題考查線面垂直、面面垂直，解題的關鍵是正確運用線面垂直、面面垂直的判定定理．