Question

【題目】某人利用一根原木制作一件手工作品，該作品由一個球體和一個正四棱柱組成，假定原 木為圓柱體（如圖1），底面半徑為，高為，制作要求如下：首先需將原木切割為兩部分（分別稱為第I圓柱和第II圓柱），要求切面與原木的上下底面平行（不考慮損耗） 然后將第I圓柱切割為一個球體，要求體積最大，將第II圓柱切割為一個正四棱柱，要求正四棱柱的上下底面分別為第II圓柱上下底面圓的內接正方形.

（1）當時，若第I圓柱和第II圓柱的體積相等，求該手王作品的體積；

（2）對于給定的和，求手工作品體積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由已知可得第I圓柱和第II圓柱高相等為4，等于圓柱底面直徑，第I圓柱的球體最大直徑為4，再由條件可求出正四棱柱的底面邊長，從而求出體積，即可求解；

（2）設第I圓柱的高為，則第II圓柱的高為，求出正四棱柱體積為，而球半徑為與較小值，對分類討論，當是，球的半徑為，體積定值，只需求最大值即可；當，球最大半徑為，求出球的體積與正四棱柱體積和，通過求導，求出最大值，對比兩個范圍的最大值，即可求解.

（1）因為第I圓柱和第II圓柱的體積一樣大，

所以它們的高一樣，可設為

第I圓柱的球體直徑不超過和

因此第I圓柱內的最大球體半徑即為

球體體積

因為正四棱柱的底面正方形內接于半徑為的圓

所以正方形的對角線長為，邊長為

正四棱柱體積，

手工作業的體積為.

（2）設第I圓柱的高為，則第II圓柱的高為，

①當時，第I圓柱內的球體直徑應不超過和，

故球體的最大半徑應為

由（1）可知，此時第II圓柱內的正四棱柱底面積為，

故當時，最大為，

手工作品的體積最大值為.

②當時，第I圓柱內的球體直徑應不超過和，

故球體的最大直徑應為，

球體體積，

正四棱柱體積

所以手工作品的體積為.

.

令

	遞減	極小	遞增

，

因為，

所以

所以當時，

手工作品的體積最大值為