Question

（本題滿分14分）

已知函數(shù)，，記

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若，比較：與的大小；

（Ⅲ）若的極值為，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)，使方程

有四個(gè)不同實(shí)數(shù)根？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

 

 

 

 

Answer 1

解：（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?，+∞）， 又

 ， 當(dāng)時(shí)，>0恒成立

∴在（0，+∞）上單調(diào)遞增；   令得

當(dāng)時(shí)，若， ∴在（0，）上單調(diào)遞減；

若，，∴在（，+∞）上單調(diào)遞增    

故時(shí)_，增區(qū)間為；

時(shí)，增區(qū)間為，減區(qū)間為（0，）。      ……4分

（Ⅱ）令，

則，所以在［1，+∞）

上單調(diào)遞增，∴，∴                ……8分

（Ⅲ）由（Ⅰ）知僅當(dāng)時(shí)，在＝處取得極值

由可得＝２，方程為

．．．，   令，得．．．

　由方程有四個(gè)不同的根，得方程有兩個(gè)不同的正根，

令，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，，得切點(diǎn)坐標(biāo)（３，） ∴切線方程為，其在y軸上截距為；當(dāng)直線在軸上截距時(shí)，和在y軸右側(cè)有兩個(gè)不同交點(diǎn)，所以k的取值范圍為（，0）　            ……14分

 （注：也可用導(dǎo)數(shù)求解）