Question

已知函數f(x)=|x-a|.
（Ⅰ）若不等式f(x)≥3的解集為{x|x≤1或x≥5}，求實數a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若f(x)+f(x+4)≥m對一切實數x恒成立，求實數m的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）由f(x)≥3得|x-a|≥3，解得x≤a-3或x≥a+3．
又已知不等式f(x)≥3的解集為{x|x≤-1或x≥5}，所以，解得a=2.……5分
（Ⅱ）當a=2時，f(x)=|x-2|，設g(x)=f(x)+f(x+4)，
于是g(x)=|x-2|+|x+2|=[JB({]-2x,x＜-24，-2≤x≤22x，x＞2[JB)]　所以當x＜-2時，g(x)＞4；當-2≤x≤2時，g(x)=4；當x＞2時，g(x)＞4。
綜上可得，g(x)的最小值為4．
從而若f(x)+f(x+4)≥m，即g(x)≥m對一切實數x恒成立，則m的取值范圍為（-∞,4］．
法二：（Ⅰ）同法一．
（Ⅱ）當a=2時，f(x)=|x-2|．設g(x)=f(x)+f(x+4)．
由|x-2|+|x+2|≥|（x-2）-（x+2）|=4（當且僅當-2≤x≤2時等號成立），得g(x)的最小值為4．從而，若f(x)+f(x+4)≥m，即g(x)≥m對一切實數x恒成立．則m的取值范圍為(-∞,4］?

解析