Question

（本小題滿分13分）

實軸長為的橢圓的中心在原點，其焦點在軸上.拋物線的頂點在原點，對稱軸為軸，兩曲線在第一象限內相交于點,且，△的面積為.

（Ⅰ）求橢圓和拋物線的標準方程；

（Ⅱ）過點作直線分別與拋物線和橢圓交于,若,求直線的斜率.

Answer 1

（本小題滿分13分）解（1）設橢圓方程為，

由題意知                      …………………………………………2分

解得，∴．

∴橢圓的方程為                     …………………………………………4分

∵，∴,代入橢圓的方程得，

將點A坐標代入得拋物線方程為．         …………………………………………6分

（2）設直線的方程為，

由  得，

化簡得                          …………………………………………8分

聯立直線與拋物線的方程，

得

∴①                              …………………………………………10分

聯立直線與橢圓的方程

得

∴②                   

∴

整理得：

∴ ，所以直線的斜率為  ．       …………………………………………13分