Question

【題目】已知二次函數f（x）=x2﹣ax+a（x∈R）同時滿足：
①不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素；
②在定義域內存在0＜x1＜x2 ， 使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．設數列{an}的前n項和Sn=f（n）．
（1）求f（x）的表達式；
（2）求數列{an}的通項公式；
（3）設 ，cn= ，{cn}的前n項和為Tn ， 若Tn＞2n+t對任意n∈N，n≥2恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素得△=a2﹣4a=0，

解得a=0或a=4．

當a=0時，f（x）=x2在（0，+∞）上單調遞增，故不存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立；

當a=4時，f（x）=x2﹣4x+4在（0，2）上單調遞減，故存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．

綜上，f（x）=x2﹣4x+4

（2）

解：由（1）知： ．

當n=1時，a1=S1=1．

當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2﹣4n+4）﹣[（n﹣1）2﹣4（n﹣1）+4]=2n﹣5．

∴an=

（3）

解：∵ = ，∴b1=27，b2=9， ，

∴當n≥2時， = ，

∴當n≥2時， ，

Tn＞2n+t對n∈N，n≥2恒成立等價于t＜ 對n∈N，n≥2恒成立，

而 是關于n的增函數，∴當n=2時，（Tn）min=16，

∴實數t的取值范圍是t＜16

【解析】（1）由不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素得△=0，解得a=0或a=4．對a分類討論，利用二次函數的單調性即可得出．（2）由（1）知： ．當n=1時，a1=S1 ． 當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1 ． 即可得出．（3）由（2）及其已知可得bn ， cn ， Tn ， 再利用數列的單調性即可得出．