Question

【題目】已知圓C：x2+（y﹣1）2=5，直線l：mx﹣y+1﹣m=0．
（1）判斷直線l與圓C的位置關系；
（2）若定點P（1，1）分弦AB為 = ，求此時直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于直線l的方程是mx﹣y+1﹣m=0，即 y﹣1=m（x﹣1），經過定點H（1，1），

而點H到圓心C（0，1）的距離為1，小于半徑 ，故點H在圓的內部，故直線l與圓C相交，

故直線和圓恒有兩個交點

（2）解：設A（x1，y1），B（x2，y2），由 = ，得 = ，

∴1﹣x1= （x2﹣1），化簡的x2=3﹣2x1…①

又由直線代入圓的方程，消去y得：（1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣5=0…（*）

∴x1+x2= …②

由①②解得x1= 代入（*）式解得m=±1，

∴直線l的方程為x﹣y=0或x+y﹣2=0

【解析】（1）根據直線l的方程可得直線經過定點H（1，1），而點H到圓心C（0，1）的距離為1，小于半徑，故點H在圓的內部，故直線l與圓C相交，命題得證．（2）把線段的長度比轉化為兩個向量的關系，由向量的坐標運算得到A，B兩點橫坐標間的關系，聯立直線與圓的方程化為關于x的一元二次方程，由根與系數關系得到A，B兩點橫坐標的和，求出其中一點的橫坐標，最后再代入關于x的方程得到關于m的方程，求解得到m的值，則直線方程可求．