Question

等差數列{ a_n}中a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，記S_n為{a_n}的前n項和，令b_n=a_na_n+1，數列{

1

bn

}的前n項和為T_n．
（1）求a_n和S_n；
（2）求證：T_n＜

1

3

；
（3）是否存在正整數m，n，且1＜m＜n，使得T₁，Tm，Tn成等比數列？若存在，求出m，n的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設數列{a_n}的公差為d，由a₃=a₁+2d=7，a₁+a₂+a₃=3a₁+3d=12，解得a₁=1，d=3，由此能求出a_n和S_n．
（2）由b_n=a_na_n+1=（3n-2）（3n+1），知

1

bn

=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

(

1

3n-2

-

1

3n+1

)，由此能夠證明T_n＜

1

3

．
（3）由（2）知，Tn=

n

3n+1

，故T1=

1

4

，Tm=

m

3m+1

，Tn=

n

3n+1

，由T₁，Tm，Tn成等比數列，能夠推導出存在正整數m=2，n=16，且1＜m＜n，使得T₁，Tm，Tn成等比數列．

解答：解：（1）設數列{a_n}的公差為d，
由a₃=a₁+2d=7，a₁+a₂+a₃=3a₁+3d=12，
解得a₁=1，d=3，
∴a_n=3n-2，
Sn=n+

n(n-1)

2

×3=

3n2-n

2

．
（2）∵b_n=a_na_n+1=（3n-2）（3n+1），
∴

1

bn

=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

(

1

3n-2

-

1

3n+1

)，
Tn=

1

3

(1-

1

4

+

1

4

-

1

7

+

1

7

-

1

11

+…+

1

3n-5

-

1

3n-2

+

1

3n-2

-

1

3n+1

)
=

1

3

(1-

1

3n+1

)＜

1

3

．
（3）由（2）知，Tn=

n

3n+1

，∴T1=

1

4

，Tm=

m

3m+1

，Tn=

n

3n+1

，
∵T₁，Tm，Tn成等比數列，
∴(

m

3m+1

)2=

1

4

×

n

3n+1

，
即

6m+1

m2

=

3n+4

n

，
當m=1時，7=

3n+4

n

，n=1，不合題意；
當m=2時，

13

4

=

3n+4

n

，n=16，符合題意；
當m=3時，

19

9

=

3n+4

n

，n無正整數解；
當m=4時，

25

16

=

3n+4

n

，n無正整數解；
當m=5時，

31

25

=

3n+4

n

，n無正整數解；
當m=6時，

37

36

=

3n+4

n

，n無正整數解；
當m≥7時，m²-6m-1=（m-3）²-10＞0，
則

6m+1

m2

＜1，而

3n+4

n

=3+

4

n

＞3，
所以，此時不存在正整數m，n，且7＜m＜n，使得T₁，Tm，Tn成等比數列．
綜上，存在正整數m=2，n=16，且1＜m＜n，使得T₁，Tm，Tn成等比數列．

點評：本題考查數列的通項公式和前n項和的求法，考查不等式的證明，考查正整數的求法．考查數列、不等式知識，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想，培養學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創新意識．