Question

【題目】已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3． （Ⅰ）求函數f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；
（Ⅱ）對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）證明：對一切x∈（0，+∞），都有lnx＞ ﹣ 成立．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f′（x）=lnx+1， 當x∈（0， ），f′（x）＜0，f（x）單調遞減，當x∈（ ，+∞），f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
① ，即0＜t＜ 時，f（x）min= ，f（x）min=f（t）=tlnt
② ，即t 時，f（x）在[t，t+1]上單調遞增，f（x）min=f（t）=tlnt，
∴
（Ⅱ）2xlnx≥﹣x2+ax﹣3，則 ，
設h（x）=2lnx+x+ ，x＞0，則h′（x）= ，
①x∈（0，1），h′（x）＜0，h（x）單調遞減，
②x∈（1，+∞），h′（x）＞0，h（x）單調遞增，
∴h（x）min=h（1）=4，對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
∴a≤4．
（Ⅲ）問題等價于證明xlnx＞ ，
由（Ⅰ）可知f（x）=xlnx，（x∈（0，+∞））的最小值是- ，當且僅當x= 時取到，
設m（x）=xlnx＞ ，則 ，
易知 ，當且僅當x=1時取到，
從而對一切x∈（0，+∞），都有都有lnx＞ ﹣ 成立
【解析】（Ⅰ）求函數f（x）在某區間的最小值，先求該函數的導函數，再判斷單調性，因為t是參數，要進行分類討論；（Ⅱ）求實數a的取值范圍，2f（x）≥g（x）恒成立，就是求函數的最值問題，（Ⅲ）本題設m（x）=xlnx＞ ，也是求m（x）=xlnx的最值問題．
【考點精析】本題主要考查了函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．