Question

【題目】如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E、F分別在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于點H，將△DEF沿EF折到△D′EF的位置．
（1）證明：AC⊥HD′；
（2）若AB=5，AC=6，AE= ，OD′=2 ，求五棱錐D′﹣ABCFE體積．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E、F分別在AD，CD上，AE=CF，

∴EF∥AC，且EF⊥BD，

又D′H⊥EF，

D′H∩DH=H，

∴EF⊥平面DD′H，

∵HD′平面D′HD，

∴EF⊥HD′，

∵EF∥AC，

∴AC⊥HD′；

（2）

若AB=5，AC=6，則AO=3，B0=OD=4，

∵AE= ，AD=AB=5，

∴DE=5﹣ = ，

∵EF∥AC，

∴ ，

∴EH= ，EF=2EH= ，DH=3，OH=4﹣3=1，

∵HD′=DH=3，OD′=2 ，

∴滿足HD′2=OD′2+OH2，

則△OHD′為直角三角形，且OD′⊥OH，

即OD′⊥底面ABCD，

即OD′是五棱錐D′﹣ABCFE的高．

底面五邊形的面積S= = =12+= ，則五棱錐D′﹣ABCFE體積V= SOD′= × ×2 =

【解析】（1）根據(jù)直線平行的性質(zhì)以及線面垂直的判定定理先證明EF⊥平面DD′H即可．（2）根據(jù)條件求出底面五邊形的面積，結(jié)合平行線段的性質(zhì)證明OD′是五棱錐D′﹣ABCFE的高，即可得到結(jié)論．；本題主要考查空間直線和平面的位置關(guān)系的判斷，以及空間幾何體的體積，根據(jù)線面垂直的判定定理以及五棱錐的體積公式是解決本題的關(guān)鍵．本題的難點在于證明OD′是五棱錐D′﹣ABCFE的高．考查學(xué)生的運算和推理能力．
【考點精析】通過靈活運用空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點即可以解答此題．