Question

【題目】設函數f（x）=4x+a2x+b，
（1）若f（0）=1，f（﹣1）=﹣ ，求f（x）的解析式；
（2）由（1）當0≤x≤2時，求函數f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=4x+a2x+b，

∵f（0）=1，f（﹣1）=﹣ ，

則有 ，

解得：a=3，b=﹣3．

故得f（x）的解析式為：f（x）=4x+32x﹣3．

（2）解：由（1）可知f（x）=4x+32x﹣3，

設t=2x，

∵0≤x≤2，

∴1≤t≤4

函數f（x）轉化為：y=t2+3t﹣3，（1≤t≤4），

函數y開口向上，對稱軸t=﹣

易知函數t∈[1，4]上遞增，

故當t=1時，有最小值為1；當t=4時，有最大值為25．

故得當0≤x≤2時，函數f（x）的值域為[1，25]．

【解析】（1）根據f（0）=1，f（﹣1）=﹣ ，帶入f（x）=4x+a2x+b，求解a，b即可得f（x）的解析式．（2）利用換元法，轉化為二次函數，根據單調性求解值域．
【考點精析】本題主要考查了函數的值域的相關知識點，需要掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最�。ù螅�數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的才能正確解答此題．