Question

在數列{a_n}，{b_n}中，a₁=2，b₁=4，且a_n，b_n，a_n+1成等差數列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數列．
（1）求a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄，由此猜測{a_n}，{b_n}的通項公式，并證明你的結論；
（2）證明：

1

a1+b1

+

1

a2+b2

+…+

1

an+bn

＜

5

12

．

Answer 1

分析：（1）根據等差中項和等比中項的性質求得a_n和b_n的關系式，分別求得a₂，a₃，a₄及b₂，b₃，b₄，推測出它們的通項公式．先看當n=1時，等式明顯成立；進而假設當n=k時，結論成立，推斷出a_k和b_k的表達式，進而看當n=k+1時看結論是否成立即可．
（2）先n=1時，不等式成立，進而看n≥2時利用（1）中的{a_n}，{b_n}的通項公式，以及裂項法進行求和，證明題設．

解答：解：（1）由條件得2b_n=a_n+a_n+1，a_n+1²=b_nb_n+1
由此可得a₂=6，b₂=9，a₃=12，b₃=16，a₄=20，b₄=25．
猜測a_n=n（n+1），b_n=（n+1）²．
用數學歸納法證明：
①當n=1時，由上可得結論成立．
②假設當n=k時，結論成立，即a_k=k（k+1），b_k=（k+1）²，
那么當n=k+1時，a_k+1=2b_k-a_k=2（k+1）²-k（k+1）=（k+1）（k+2），b_k+1=

a 2 k+2

bk

=（k+2）²．
所以當n=k+1時，結論也成立．
由①②，可知a_n=n（n+1），b_n=（n+1）²對一切正整數都成立．
（2）證明：

1

a1+b1

=

1

6

＜

5

12

．
n≥2時，由（1）知a_n+b_n=（n+1）（2n+1）＞2（n+1）n．
故

1

a1+b1

+

1

a2+b2

+…+

1

an+bn

＜

1

6

+

1

2

(

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

)=

1

6

+

1

2

(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

1

6

+

1

2

(

1

2

-

1

n+1

)＜

1

6

+

1

4

=

5

12

綜上，原不等式成立．

點評：本小題主要考查等差數列，等比數列，數學歸納法，不等式等基礎知識，考查綜合運用數學知識進行歸納、總結、推理、論證等能力．