Question

（本題滿分13分）
已知函數處取得極小值，其圖象過點A（0，1），且在點A處切線的斜率為—1。
（1）求的解析式；
（2）設函數上的值域也是，則稱區間為函數的“保值區間”。
①證明：當不存在“保值區間”；
②函數是否存在“保值區間”？若存在，寫出一個“保值區間”（不必證明）；若不存在，說明理由。

Answer 1

 
[0，1]為它的一個“保值區間”。

．解：（1）
， ………………2分
由
所以 ………………4分
（2）由（1）得，
①假設當存在“保值區間”

于是問題轉化為有兩個大于1的不等實根�！�………6分
法一：現在考察函數，


 …………10分
當x變化時，的變化情況如下表：

	—	0	+
	單調遞減	極小值	單調遞增

所以，上單調遞增。

法二：于是問題轉化為有兩個大于1的不等實根。

所以函數的圖象有且只有一個交點。
即方程有且只有一個大于1的實根，與假設矛盾。
故當不存在“保值區間”。
②存在“保值區間”，[0，1]為它的一個“保值區間”。 ………………13分