Question

【題目】已知函數的定義域是.

（1）判斷在上的單調性，并證明；

（2）若不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：首先要注意到大家熟知的常用的函數，第一定義域為R，第二這個函數是奇函數，第三它是單增函數，熟悉這3條，本題的第一步就只需按定義去證明了，有了函數的單調性，利用函數的單調性與奇偶性解不等式，利用極值原理求出參數的取值范圍.

試題解析：

（1）因為函數的定義域為，對于函數定義域內的每一個，都有

所以，函數是奇函數.

設是上任意兩個實數，且，則

.

由，得， 即.

于是，

即.

所以函數在上是増函數，且

易證函數在上是増函數，且.

∵

∴函數在上是増函數.

（2） 等價于，即

原條件等價于對任意恒成立，

只需要.

令，設函數.

由函數的單調性可知.

∴

∴實數的取值范圍.