Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=BC=2AC=2． （Ⅰ）若D為AA1中點，求證：平面B1CD⊥平面B1C1D；
（Ⅱ）在AA1上是否存在一點D，使得二面角B1﹣CD﹣C1的大小為60°．

Answer 1

【答案】解法一：（Ⅰ）證明：∵∠A1C1B1=∠ACB=90° ∴B1C1⊥A1C1
又由直三棱柱性質知B1C1⊥CC1∴B1C1⊥平面ACC1A1 ．
∴B1C1⊥CD
由AA1=BC=2AC=2，D為AA1中點，可知 ，
∴DC2+DC12=CC12=4即CD⊥DC1
又B1C1⊥CD∴CD⊥平面B1C1D
又CD平面B1CD
故平面B1CD⊥平面B1C1D
（Ⅱ）解：當 時二面角B1﹣CD﹣C1的大小為60°．
假設在AA1上存在一點D滿足題意，
由（Ⅰ）可知B1C1⊥平面ACC1A1 ．
如圖，在平面ACC1A1內過C1作C1E⊥CD，交CD或延長線或于E，連EB1 ， 則EB1⊥CD
所以∠B1EC1為二面角B1﹣CD﹣C1的平面角
∴∠B1EC1=60°
由B1C1=2知，
設AD=x，則
∵△DCC1的面積為1∴
解得 ，即
∴在AA1上存在一點D滿足題意
解法二：
（Ⅰ）如圖，以C為原點，CA、CB、CC1
所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系．
則C（0，0，0），A（1，0，0），B1（0，2，2），C1（0，0，2），D（1，0，1）．
即
由 得
由 得
又DC1∩C1B=C1
∴CD⊥平面B1C1D又CD平面B1CD
∴平面B1CD⊥平面B1C1D
（Ⅱ）當 時二面角B1﹣CD﹣C1的大小為60°．
設AD=a，則D點坐標為（1，0，a），

設平面B1CD的法向量為
則由 令z=﹣1
得
又∵ 為平面C1CD的法向量
則由
解得 ，故 ．
∴在AA1上存在一點D滿足題意


【解析】
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關知識，掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．