Question

如下圖所示,在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,∠ABC=90°,BC=2,CC₁=4,點E在線段BB₁上,且EB₁=1,D,F,G分別為CC₁,C₁B₁,C₁A₁的中點.求證：

(1)B₁D⊥平面ABD;

(2)平面EGF∥平面ABD.

Answer 1

證明：(1)如圖所示,由條件,知BA,BC,BB₁兩兩互相垂直,以B為坐標原點,BA,BC,BB₁所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立直角坐標系.

由條件知B(0,0,0),D(0,2,2),B₁(0,0,4),設BA=a,則A(a,0,0).

所以=(a,0,0),=(0,2,2),=(0,2,-2).

·=0,·=0+4-4=0.

所以B₁D⊥BA,B₁D⊥BD.

因此B₁D⊥平面ABD.

(2)由E,F,G的定義,知E(0,0,3),G(,1,4),F(0,1,4).

所以=（,1,1）,=(0,1,1),·=0+2-2=0,·=0+2-2=0.

所以B₁D⊥EG，B₁D⊥EF.

所以B₁D⊥平面EFG.結合(1),可知平面EGF∥平面ABD.