Question

【題目】已知M為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)Q（－2,3）．

（1）求|MQ|的最大值和最小值；

（2）若M（m，n），求的最大值和最小值

Answer 1

【答案】（1）6，2（2）最大值為2＋，最小值為2－

【解析】

試題（1）求圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最值，首先求圓心到直線的距離，再此基礎(chǔ)上加減半徑得到距離的最大值和最小值；（2）看作兩點(diǎn)連線的斜率，結(jié)合圖形可知斜率的最值為直線與圓相切時(shí)的切線斜率

試題解析：（1）由C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0可得（x－2）2＋（y－7）2＝8，

∴圓心C的坐標(biāo)為（2,7），半徑r＝2．

又|QC|＝＝4．∴|MQ|max＝4＋2＝6，

|MQ|min＝4－2＝2．

（2）可知表示直線MQ的斜率，設(shè)直線MQ的方程為y－3＝k（x＋2），

即kx－y＋2k＋3＝0，則＝k．由直線MQ與圓C有交點(diǎn)，

所以≤2．可得2－≤k≤2＋，

所以的最大值為2＋，最小值為2－．