Question

（2013•江西）橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，a+b=3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，A，B，D是橢圓C的頂點，P是橢圓C上除頂點外的任意點，直線DP交x軸于點N直線AD交BP于點M，設BP的斜率為k，MN的斜率為m，證明2m-k為定值．

Answer 1

分析：（1）由題目給出的離心率及a+b=3，結合條件a²=b²+c²列式求出a，b，則橢圓方程可求；
（2）設出直線方程，和橢圓方程聯立后解出P點坐標，兩直線方程聯立解出M點坐標，由D，P，N三點共線解出N點坐標，
由兩點求斜率得到MN的斜率m，代入2m-k化簡整理即可得到2m-k為定值．

解答：（1）解：因為e=

c

a

=

3

2

，所以

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

3

4

，即a²=4b²，a=2b．
又a+b=3，得a=2，b=1．
所以橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1；
（2）證明：因為B（2，0），P不為橢圓頂點，則可設直線BP的方程為y=k(x-2) (k≠0，k≠±

1

2

)．
聯立

y=k(x-2) x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²-16k²x+16k²-4=0．
所以xP+2=

16k2

4k2+1

，xP=

8k2-2

4k2+1

．
則yP=k(

8k2-2

4k2+1

-2)=

-4k

4k2+1

．
所以P（

8k2-2

4k2+1

，

-4k

4k2+1

）．
又直線AD的方程為y=

1

2

x+1．
聯立

y=k(x-2) y= 1 2 x+1

，解得M（

4k+2

2k-1

，

4k

2k-1

）．
由三點D（0，1），P（

8k2-2

4k2+1

，

-4k

4k2+1

），N（x，0）共線，
得

-4k 4k2+1 -1

8k2-2 4k2+1 -0

=

0-1

x-0

，所以N（

4k-2

2k+1

，0）．
所以MN的斜率為m=

4k 2k-1 -0

4k+2 2k-1 - 4k-2 2k+1

=

4k(2k+1)

2(2k+1)2-2(2k-1)2

=

2k+1

4

．
則2m-k=

2k+1

2

-k=

1

2

．
所以2m-k為定值

1

2

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，訓練了二次方程中根與系數關系，考查了由兩點求斜率的公式，是中高檔題．