Question

（2013•深圳一模）已知兩點(diǎn)F₁（-1，0）及F₂（1，0），點(diǎn)P在以F₁、F₂為焦點(diǎn)的橢圓C上，且|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|構(gòu)成等差數(shù)列．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)M，N是直線l上的兩點(diǎn)，且F₁M⊥l，F(xiàn)₂N⊥l．求四邊形F₁MNF₂面積S的最大值．

Answer 1

分析：（1）依題意，設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，c=1．再利用|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|構(gòu)成等差數(shù)列，即可得到a，利用b²=a²-c²得到a即可得到橢圓的方程；
（2）將直線l的方程y=kx+m代入橢圓C的方程3x²+4y²=12中，得到關(guān)于x的一元二次方程，由直線l與橢圓C僅有一個(gè)公共點(diǎn)知，△=0，即可得到m，k的關(guān)系式，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得到d₁=|F₁M|，d₂=|F₂N|．
法一：當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)直線l的傾斜角為θ，則|d₁-d₂|=|MN|×|tanθ|，即可得到四邊形F₁MNF₂面積S的表達(dá)式，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出S的最大值；
法二：利用d₁及d₂表示出

d

2 1

+

d

2 2

及d₁d₂，進(jìn)而得到S2=

1

k2+1

(d12+d22+2d1d2)=

16k2+12

(k2+1)2

，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出其最大值．

解答：解：（1）依題意，設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1．
∵|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|構(gòu)成等差數(shù)列，∴2a=|PF₁|+|PF|₂=2|F₁F₂|=4，a=2．
又∵c=1，∴b²=3．∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）將直線l的方程y=kx+m代入橢圓C的方程3x²+4y²=12中，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．                
由直線l與橢圓C僅有一個(gè)公共點(diǎn)知，△=64k²m²-4（4k²+3）（4m²-12）=0，
化簡(jiǎn)得：m²=4k²+3．                          
設(shè)d1=|F1M|=

|-k+m|

k2+1

，d2=|F2N|=

|k+m|

k2+1

，
法一：當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)直線l的傾斜角為θ，
則|d₁-d₂|=|MN|×|tanθ|，
∴|MN|=|

d1-d2

k

|，S=

1

2

|

d1-d2

k

|(d1+d2)=|

d12-d22

2k

|=

2|m|

k2+1

=

2|m|

m2-3 4 +1

=

8

|m|+ 1 |m|

，
∵m²=4k²+3，∴當(dāng)k≠0時(shí)，|m|＞

3

，|m|+

1

|m|

＞

3

+

1

3

=

4

3

3

，S＜2

3

．
當(dāng)k=0時(shí)，四邊形F₁MNF₂是矩形，S=2

3

．   
所以四邊形F₁MNF₂面積S的最大值為2

3

．    
法二：∵d12+d22=(

|-k+m|

k2+1

)2+(

|k+m|

k2+1

)2=

2(m2+k2)

k2+1

=

2(5k2+3)

k2+1

，d1d2=

|-k+m|

k2+1

•

|k+m|

k2+1

=

|m2-k2|

k2+1

=

3k2+3

k2+1

=3．
∴|MN|=

F1F22-(d1-d2)2

=

4-(d12+d22-2d1d2)

=

2

k2+1

．
四邊形F₁MNF₂的面積S=

1

2

|MN|(d1+d2)=

1

k2+1

(d1+d2)，
S2=

1

k2+1

(d12+d22+2d1d2)=

16k2+12

(k2+1)2

=16-4(

1

k2+1

-2)2≤12．  
當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)，S2=12，S=2

3

，故Smax=2

3

．
所以四邊形F₁MNF₂的面積S的最大值為2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、等差數(shù)列、二次函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想．