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已知
i
，
j
分別是x軸，y軸方向上的單位向量，
OA1
=
j
，
OA2
=10
j
，且
An-1An
=3
AnAn+1
(n=2，3，4，…)，在射線y=x（x≥0）上從下到上依次有點Bi=（i=1，2，3，…），
OB1
=3
i
+3
j
且|
Bn-1Bn
|=2
2
（n=2，3，4…）．
（Ⅰ）求
A4A5
；
（Ⅱ）求
OAn
，
OBn
；
（III）求四邊形AnAn+1Bn+1Bn面積的最大值．
（Ⅰ）∵
An-1An
=3
AnAn+1
?
AnAn+1
=
1
3
An-1An
，
∴
A4A5
=
1
3
A3A4
=(
1
3
)2
A2A3
=(
1
3
)3
A1A2
=
1
27
(
OA2
-
OA1
)=
1
3
J
．(3分)
（II）由（1）知
AnAn+1
=
1
3n-1
A1A2
=
1
3n-3
j
，
OAn
=
OA1
+
A1A2
+…
An-1An
=
j
+
A1A2
+…+
An-1An

=
j
+9
j
+3
j
+…+
1
3n-3
j
=
j
+
9[1-(
1
3
)n-1]
1-
1
3
j
=
29-(
1
3
)n-4
2
j
．(6分)
∵|
Bn-1Bn
|=2
2
且Bn-1，Bn均在射線y=x（x≥0）上，
∴
Bn-1Bn
=2
i
+2
j
．∴
OBn
=
OB1
+
B1B2
+
B2B3
+…+
Bn-1Bn
=3i+3
j
+(n-1)(2
i
+2
j
)
（III）∵|
AnAn+1
|=
1
3n-3
，△AnAn+1Bn+1的底面邊AnAn+1的高為h1=2n+3．
又|
BnBn+1
|=2
2
，An(0，
29-(
1
3
)n-4
2
)到直線y=x的距離為h2=
29-(
1
3
)n-4
2
2
．
∴Sn=
1
2
•(2n+3)•
1
3n-3
+
1
2
•2
2
•
29-(
1
3
)n-4
2
2
=
29
2
+
n
3n-3
，（10分）
而Sn-Sn-1=
n
3n-3
-
n-1
3n-4
=
-2n+3
3n-3
＜0，
∴S1＞S2＞…＞Sn＞…
∴Smax=S1=
29
2
+
1
3-2
=
29
2
+9=
47
2
.
（12分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知i，
j
分別是x，y軸上的單位向量且
a
=
5i
-
12j
，
6
=
4i
+
3j
，則
a
與
b
夾角的余弦值為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知
i
、
j
分別是x、y軸正方向的單位向量，點P（x，y）為曲線C上任意一點，
a
=(x-1)
i
+y
j
，
b
=(x+1)
i
+y
j
且滿足
b
•
i
=|
a
|．
（1）求曲線C的方程．
（2）是否存在直線l，使得l與C交于不同兩點M、N，且線段MN恰被直線x=
1
2
平分？若存在求出l的傾斜角α的范圍，若不存在說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2004•黃岡模擬）已知
i
，
j
分別是x軸，y軸方向上的單位向量，
OA1
=
j
，
OA2
=10
j
，且
An-1An
=3
AnAn+1
(n=2，3，4，…)，在射線y=x（x≥0）上從下到上依次有點Bi=（i=1，2，3，…），
OB1
=3
i
+3
j
且|
Bn-1Bn
|=2
2
（n=2，3，4…）．
（Ⅰ）求
A4A5
；
（Ⅱ）求
OAn
，
OBn
；
（III）求四邊形AnAn+1Bn+1Bn面積的最大值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知
i
、
j
分別是x、y軸正方向的單位向量，點P（x，y）為曲線C上任意一點，
a
=(x-1)
i
+y
j
，
b
=(x+1)
i
+y
j
且滿足
b
•
i
=|
a
|．
（1）求曲線C的方程．
（2）是否存在直線l，使得l與C交于不同兩點M、N，且線段MN恰被直線x=
1
2
平分？若存在求出l的傾斜角α的范圍，若不存在說明理由．

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