Question

已知

i

、

j

分別是x、y軸正方向的單位向量，點P（x，y）為曲線C上任意一點，

a

=(x-1)

i

+y

j

，

b

=(x+1)

i

+y

j

且滿足

b

•

i

=|

a

|．
（1）求曲線C的方程．
（2）是否存在直線l，使得l與C交于不同兩點M、N，且線段MN恰被直線x=

1

2

平分？若存在求出l的傾斜角α的范圍，若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（1）把P（x，y）代入，

a

=(x-1)

i

+y

j

，

b

=(x+1)

i

+y

j

且滿足

b

•

i

=|

a

|，根據拋物線的定義即可求得曲線C的方程；
（2）假設存在直線l滿足題意，設出直線l的方程與曲線C聯立，消去y，得到關于x的一元二次方程有兩個不等實根，△＞0；利用韋達定理可得關于斜率的方程，即可求得斜率的范圍，從而可求l的傾斜角α的范圍．

解答：解：（1）設點A（-1，0），F（1，0）則由

b

•

i

=|

a

|
知

b

在

i

方向上的射影等于

a

的模．
故點P的軌跡是拋物線，且以F（1，0）為焦點以x=-1為準線．
所以C：y²=4x
（2）設存在，由題知l的斜率存在且設l為：y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）則
由

y2=4x y=kx+m

得：k²x²+（2km-4）x+m²=0x1+x2=-

(2km-4)

2k2

①
△=（2km-4）²-4k²m²＞0得km＜1②
又

x1+x2

2

=

1

2

③
由①③知：m=

2-k2

k

④
由②④得k＞1或k＜-1
∴α∈(

π

4

，

π

2

)∪(

π

2

，-

3π

4

)

點評：考查向量的數量積和拋物線的定義，直線與圓錐曲線相交弦的中點問題，解題方法一般聯立，消元，利用韋達定理，體現了方程的思想和轉化的思想方法，屬中檔題．